1. 面積問題：多角形から極限へ
多角形の面積は三角形に分割することで求められますが、曲線的な境界を持つ領域 $S$ には別のアプローチが必要です。私たちは 面積問題 連続かつ非負の関数 $y = f(x)$ が区間 $[a, b]$ 上で定義されているとき、その関数の下にある正確な面積を求めるという定義をします。
区間 $[a, b]$ を等幅の $n$ 個の部分に分割します。各部分の幅は $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ です。端点は $x_0, x_1, \dots, x_n$ となります。
長さ $n$ 個の矩形を作成します。右端点法を使って 右端点法 推定値 ($R_n$) では、$i$ 番目の矩形の高さは $f(x_i)$ です。全体の面積は $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$ と近似されます。
$n$ が増加するにつれて、誤差（矩形と曲線の間の隙間）は消失します。正確な面積 $A$ は次のように極限として定義されます：$\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$。
2. 距離と速度の二重性
「 距離問題 」とは、時間とともに変化する速度を持つ物体がどれだけの距離を移動するかを問うものです。速度が一定であれば、$distance = velocity \times time$ ですが、速度が変化する場合は、非常に短い時間間隔 $\Delta t$ では「局所的に一定」とみなします。
「速度をより頻繁に測定すれば、推定値がより正確になります。したがって、実際に移動した距離 $d$ は、このような表現の極限であると考えるのが自然です。」
実例：$y = x^2$ on $[0, 1]$（例1）
放物線 $y = x^2$ における $x=0$ から $x=1$ までの面積を、右端点法で $n=4$ で推定する場合：
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
左端点法（$L_4$）を使用すると $0.21875$ になります。真の面積はこの範囲に「挟まれ」ており、$0.21875 < A < 0.46875$ です。